[선형대수학] 6. 가우스 소거(Gauss elimination), 가우스-조르단 소거(Gauss-Jordan elimination)

2011. 01. 10

연립방정식을 푸는 방법에 대해서 지난 시간에는 크래머 공식에 대해서 설명하였다.

이번시간에는 가우스 소거법과 가우스-조르단 소거법에 대해서 설명 해보려고한다.

이전 크래머 공식에 대해서 읽어 보지 않았다면 먼저 읽어보기를 권장한다.

http://carstart.tistory.com/160 (크래머 공식)





가우스 와 가우스 조르단 방법을 알기전 꼭 알아야 할 사항이 있다.  그건 무엇?

행 사다리꼴과 기약 행 사다리 꼴이다.




지금까지

정방행렬만 사용해 왔던 정사각형
일반행렬로 사용해 왔던 직사각형
LU분해 등등 사용했던   삼각형


근데 뭐.... 사다리꼴?

행렬에서 사다리꼴이 어디 있냐 하는 생각이 들수 도 있다.
어리둥절 할지라도 한번 알아보자






행 사다리꼴 과 기약 행 사다리꼴

그림과 같이 같은 형태를 따서 사다리꼴이라 한다.
그럼 사다리꼴 모양만 되면 아무나 행 사다리꼴, 기약 행 사다리꼴을 다하느냐
당연히 아니다.







그럼 행 사다리꼴과 기약 행 사다리꼴의 기준은 무엇인지 알아보자!



기약 행 사다리꼴(RREF Reduced Row Echelon Form)의 성질

1. 만약 한 행의 원소가 전부 0이 아니면, 행의 첫 번째 0이 아닌 수는 1이다. (이를 선행이라 부른다)
2. 만약 어떤 행들이 모두 0으로 이루어 져 있으면 그 행들은 모두 행렬의 아래 쪽 행에 놓여진다.
3. 두 개의 연속된 행이 모두 0이 아니라면 아래 행에 있는 선행1이 윗 행에 있는 선행1의 오른쪽에 위치한다.
4. 선행 1을 가진 열은 1을 제외한 다른 곳이 모두 0이다.




행 사다리꼴(Row Echelon Form)의 성질

1, 2, 3 의 성질을 만족하는 행렬이다.




참 이해하기 어렵다.








좀더 쉽게 예를 표현해서 이야기 해보자 !


다음 그림은 모두 기약 행 사다리꼴이다.

1. 행의 원소가 전부 0이 아니고 0이 아닌 첫번째 수는 1임을 알 수가 있다.

(1,2,3 번째 그림 참조, 4번의 모두 0인것도 기약 행 사다리꼴에 들어 간다.)

2. 모두 0으로 이루어져 있으면 모두 행렬 아래 놓인다 했다.  

(3,4번째 그림을 참조)

3. 두 개의 연속된 행이 모두 0이 아니면 아래 행에 있는 선행1이 윗 행에 있는 선행의 오른쪽에 위치한다. 

(1,2,3을 참조하면모두 아래행의 선행이 윗행의 선행보다 오른쪽에 위치함을 알수 있다.)

4. 선행 1을 가진 열은 다른 곳이 모두 0이다 

(1, 2, 3을 참조하면 무조건 선행의 위열과 아래 열은 0이라는 것이다. )

다음 그림은 모두 행 사다리꼴이다.

기약 행 사다리꼴에서는 위의 조건을 다 만족 하지만 4번 조건을 만족하지 않기 때문에 행 사다리꼴이 된다.

(예를 들면 첫번째 그림에서 2행의 선행인 1이 위 아래로 0이어야 하지만 위로는 4를 만족하기 때문이다.)

근데 이런 형태로 된 행렬은 드믈건데 이런 형태를 왜 만들어 났을가?

그렇다 이런 형태가 나오기는 힘들다
하지만 기약 행 사다리꼴 형태로 된 행렬을 가지고 연립방정식을 구하기는 매우 쉽다.
아래 그림에서 만 봐도 특별한 계산없이도 눈으로만으로도 매개형식을 쉽게 표현함으로써 해집합을 간단히 구할수 있기 때문이다.

그래서 보통 일반 행렬을 기약 행 사다리꼴의 형태로 바꾸어서 빠르게 풀려고 이 단원을 배우고 있는 것이다.





그럼 기약 행 사다리꼴로 바꾸는 방법을 알려주세요 !

그 방법이 바로
가우스-조단 소거(Gauss-Jordan Elimination) 방법 이라는 것이다.

그럼 행 사다리꼴로 바꾸는 방법은 ?
가우스 소거(Gauss Elimination) 방법이다.

자.. 이제 감이 오는가? 
오늘의 주제에 대해서




가우스가 소거 (Gauss Elimination)

가우스가 행렬을 행 사다리꼴을 구하기 위하여 변환 과정을 만들었다.
기약 행 사다리꼴을 구하기 위한 변환과정으로는


다음과 같은 행렬을 가우스 소거 방식을 통하여 구할려고 한다.

1단계 : 가장 왼쪽이 모두 0으로 이루어지지 않도록 행렬을 정리한다

2단계 : 필요하다면 1단계에서 구한 열의 첫째 성분이 0이 되지 않도록 행의 위치를 바꿔라

3단계 : 열의 첫째 성분이 1이 아니고 A 라면  선행 1을 얻기 위하여 1/A 을 곱하여 1로 만들어 주어라

4단계 : 선행 아래의 모든 성분이 0이 되도록 첫째행에 적당한 값을 곱하여 아래 행들에 더한다.

5단계 : 첫째 행은 그대로 두고 나머지 행에 대해서 다시 1~4단계를 적용한다.

1) 1열

2) 2열

3) 3열

자 드디어 행 사다리골 을 만들었다.




가우스-조단 소거 방식 (Gauss-Jordan Elimination)

조단은 여기서 한단계를 더 추가하여 기약 행 사다리꼴을 만들었다.


6단계 : 0이 아닌 가장 아래의 행에서 시작하여 위 방향으로 실행한다.

(선행 1의 위에 위치한 원소가 0이 되도록 각행에 적당한 수를 곱하고 위에 있는 행에 더한다.)

3열 위

3열 아래 (여기서 중요한건 행렬은 위아래가 연결되어 있다는 점이다.)

2열 위

자 드디어 기약 행 사다리골 을 만들었다.
한번 예제를 가지고 직접 해보는것을 추천 한다.






이제 내용과 의미를 아셨다면 실전에 사용할 수 있도록 코딩 들어가셔야죠 ^^

도움이 되셨다면 리플 부탁드립니다 !
리플 하나가 큰 힘이 된답니다 ^^