2010.11.15 17:09


행렬식. 행렬식. 행렬식. 행렬식.
공대생이라면..
지겹도록 들었을 것이다.


하지만 행렬식이 무엇이냐 ?
물어보면
대답할 줄 아는 사람은 몇명 없다.
그냥 행렬식은 익숙하나 정확한 개념이 안잡혔기 때문에.


나 역시도 모르기때문에 이렇게 행렬식에 대해서 자세히 알아볼려고 한다.
자 그럼 행렬식에 대해서 알아보자 ㅋ




행렬식 [行列式] determinant


보통 det 라 많이 부르는 행렬식의 정의를 보면 ?

G.W 라이프니츠 가 연립방정식의 해법의 연구에서 고안한 것으로, 대수학에서 n형과 n열의 정방행렬 A와 관련된 식을 일컫는다.
단지 연립방정식을 구하기 위해서 이것을 만들었다는 건가 ㅡㅡ



그냥 구하면 되지 왜 구지 행렬이란것을 만들어서 사용하니 ?

우리는 미지수가 2개의 연립방정식은 풀기 쉽지만 , 만약 미지수가 10개라면 ?
답이 없습니다.
손으로 풀다간 죽습니다..

한가지 예를 들어 나로호를 지금 아 올릴려고 합니다. 그런데
행성궤도를 계산해야하는데 연립 방정식으로 풀어야 합니다.
근데 미지수가 몇 백만개가 넘는 다는데요 어떻게 하시겠습니까?

바보 같이 그걸 우리가 왜해
컴퓨터가 다알아서 해줄건데.ㅋㅋㅋㅋ 바보니 ?
컴퓨터가 해주는 건 나도 아는데 어떻게 입력할건데?

맞습니다. 이제 짐작이 가십니까?
컴퓨터가 이해 할 수 있는 식으로 표현을 할려고 하는데
그게 행렬이라는 식으로 바꿔서 
컴퓨터에 입력을 한다는 것입니다.

한 마디로 말해서 공대생은 수학을 컴퓨터가 풀 수 있는 방법으로 바꾸기 위해서 행렬을 배운다는 것입니다.



그럼 행렬식은 어떻게 구하나요?

자 그럼 우리가 고등학교 때 배웠던 행렬에 대해서 잠간 생각 해봅시다.


먼저 1차 행렬

|a|  의 행렬식은 ?              답  :  a



그럼 2차행렬

| a  b |
| c  d |   의 행렬식은 ?       답 : ad - bc



.......... 여기서부터는 대학 수준입니다.  .................


그럼 3차 행렬
| a  b  c |
| d  e  f  |
| g  h  i  |  의 행렬식은 ?    

네 답을 못하는 분들이 많을 것입니다.

이 것의 답은 
aei + cdh + bfg - ceg - bdi - afh 입니다.
<틀려서 올바르게 수정하였습니다^^ 틀린부분 조언 감사합니다.>


마추신 분들은 보통 Sarrus 전개를 이용해서 구하셨을 것입니다.


Sarrus 전개란 ?

Sarrus란 사람이 행렬식을 좀더 쉽게 구하기 위하여 아래 그림과 같이



행렬을 연장하여 대각선 방향으로 반대각선 방향의 차가 행렬식의 값과 같다는것을 나타낸 것 
(하지만 이는 3차까지만 적용이 가능하다는 것)

우리는 보통 위 그림 보다는 아래 그림과 같이 외우고 있습니다.





앗 그럼 4차 이상은 어떻게 구하나요 (여인수 전개) ?

4차 이상부터는 여인수 전개를 통하여 구합니다.

여인수(cofactor) 전개를 알기 전에
먼저 소행렬 식부터 알아 봅시다.

소행렬식이란 ?
이것 역시  G.W. 라이프니치가 연립 방정식 해법 연구중 하나로 고안한 행렬식중 하나입니다.

N차 정사각 행렬에 대해서 임의의 행렬원소 Aij 가 있다면 i와 j에 해당하는 행과 열을 제거해서 얻을수 있는
N-1차 행렬의 행렬식을 원소 Aij의 소행렬식이라 표현합니다.

예를 들어보면
다음과 같은 3차 행렬식 A가 있다면


a11 를 원소로 하는 소행렬식 D11을 구할려면



2차 행렬이 나오는데 이를 M11 라 합니다.
M11 의 행렬식값은 D11 으로 아래와 같이 


소행렬식의 값을 구할 수 있습니다.


여기서 라이프니치는
일반적으로 Mij 와 Aij의 관계는 
 가 성립하는 관계를 얻을 수 있습니다.


그러면 행렬 A의 모든 성분들의 소행렬식을

행에대해서


열에대해서

 
전개를 한 것에 대해서 합을 구하여 행렬식 값을 구하는 방법을  

여인수 전개라고 합니다.

여기서 어떠한 행이나 열로 해도 같은 결과를 같습니다.
이는 수학적 귀납적 용법으로 증명이 가능하다고 합니다. (궁금하시면 해보세용)

그래서 일반적으로 보통 1행에서 대해서 많이 구합니다.

|A| = a11A11 + a12A12 + a13A13 이런식으로



말로 설명하니 좀 이해가 안가시죠?  예를 들어서 설명해보겠습니다.

3차행렬식을 바로 Sarrus전개를 이용하지 않고
3차행렬식을 여인수 전개를 이용해서 2차로 줄이고 
2차행렬식을 Sarrus 전개식을 이용해서 행렬식값을 구하는 것을 표현해보겠습니다.





1. Sarrus 전개 방식을 이용한다면 바로 답은 : 
(a11*a22*a33) + (a12*a23*a31) + (a13*a21*a32) - (a13*a22*a31) - (a12*a21*a33) - (a11*a23*a32)


2. 여인수 전개 방식을 이용한다면 (1행 단위로 구분을 지어서 해보겠습니다. 아무것이나 해도 결과는 같습니다. )


M11 값은   
  

이런식으로 M12, M13을 구하고


대입을 해보면




이렇게 행렬식 값을 구하고 전개하면


이를 다시 풀면
(a11*a22*a33) + (a12*a23*a31) + (a13*a21*a32) - (a13*a22*a31) - (a12*a21*a33) - (a11*a23*a32)


3 결과 :

여인수전개  방법과 Sarrus 전개 방법이 같다는 결과를 볼 수 있습니다.

이젠 3차 이상의 행렬값은 어떻게 구하는지 아시겠죠?




이론만 알면 무엇합니까 ㅡ,.ㅡ 한번 코딩한번 해보죠 ^^ (실전에 써야죵 ㅋㅋㅋ)


Posted by 차출발 차출발

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  1. 학생A 2011.06.08 17:42  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    선형대수 공부하는데 많은 도움이 됬습니다.
    그런데 여인수 전개에서 여인수의 표현과 소행렬 식의 표현이 대문자 M으로 똑같네요 ㅎ
    여인수를 Cij로 바꿔야 하는게 아닌가 해서 올려봅니다.

  2. 2011.08.22 13:33  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    잘보고 갑니다. 감사합니다^^

  3. 2011.09.13 04:47  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    소행렬식은 얼추 알겠는데 여인수가 정확히 뭔지를 잘모르겠어요 ㅜㅜ 그리고 Aij 가 뜻하는게 정확히 뭐죠?

  4. 캄솨! 2011.09.16 16:06  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    잘 보고 갑니다 ^^

  5. BlogIcon yosha 2011.09.21 22:45  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    우리학교 교수님이 오늘 말하길,
    사루스 정리 4X4부터는 안된다고 오늘 배워쎠요;;
    교수님이 대학원시절에 진짜 쌔빠지게 한번 손으로 개노가다 해보셨다는데
    결국 컴터로 푼거랑 답이 달랐데요;

  6. 감사용~ 2011.10.02 17:19  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    정말 너무 감사해요ㅠㅠ 글쓴이 글 보고 왜 이딴 행렬식을 공부하고 있어야하는지 알게됐고
    어떻게 푸는지도 알게됐네요ㅠㅠ
    친절한 설명 너무너무 감사해요^^

  7. ygy2011 2012.01.02 21:23  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    잘 읽었습니다. 그런데 중간에 3x3 행렬 aei+cdh+bfg-ceg-bfg-cdh로 잘못 써있네요.

  8. 잘 봤습니다~ 2012.04.16 23:46  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    대박!!
    감사합니다 !!^^ ㅜㅜ
    이렇게 어려운 공대수학을 쉽게쉽게 설명해주시다니...
    어떻게 푸는지 몰라서 찾고있던 차에 여길 발견하게 됐는데, 정말 좋아요!!
    가우스 소거법도 봤는데 완벽하진 않지만 이해가 쏙쏙 되더라구요.(제 머리가;;..ㅋ)
    앞으로도 간혹 들리겠습니다^^
    좋은 지식 감사드립니다!!

  9. 건축과학생 2012.09.17 18:08  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    정말 잘 봤습니다. 수학 기초가 없는데, 아주 잘 이해가 됩니다!!! 더 많은 포스팅 부탁드립니다. 행렬계수에 대해서면 좋겠구요 ㅠㅠ

  10. 선형대수학 2012.10.12 00:13  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    감사합니다 ㅠㅠㅠ 잘이해했습니다 정말 설명이 세세하세요

  11. ㅠㅠ 2013.04.07 23:26  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    슈퍼노가다 ㅠㅠ

  12. 룰루랄라 2013.09.08 20:49  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    감사합니다!
    앞으로 대학 수학 개념 복습할 때 자주 들러야겠습니다

  13. BlogIcon 투야 2013.10.01 20:40  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    으엉엉엉 ㅠㅠ 우리교수님은 왤케 설명을 못해주실까요 ? ㅠㅠ
    정말 감동먹었어요 ㅠㅠ 감사합니다!!!!!!!!
    ...
    그리고,... 구지(x) 굳이(o) ,마추다(x) 맞추다(o) 에요!

  14. 행렬 2013.12.02 18:37  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저 궁금한게 하나 있습니다.
    Mij = (-1)i+j Aij 부분에 -1부분은 어떻게 나오는 것인지 좀 알려주시면 안될까요?

  15. BlogIcon 궁금이 2014.04.01 21:19  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    사루스가 3차까지만 되고 4차부터는 여인수로 구하는걸 보여준다고 하셔놓고 여인수로 3차를 푸는 오류를 범하고 계시네요
    4차를 여인수로 푸려면 소행렬식을 3차로 놓고 각 소행렬식들을 사루스로 풀어야 하나요? 그럼 5차는 어떻게 풀죠
    궁금한데 많네요 ~~

  16. 대학생 2014.04.07 18:02  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    여인수와 소행렬을 이용해서 푸는것을 라플라스 전개라고 하죠..

  17. 직장인 2014.04.27 16:42  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    좋은 자료네요...쉽게 잘 작성하셔서 잘 봤습니다. 감사합니다!!!!

  18. BlogIcon ㅎㅎㅎ 2014.12.12 22:52  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    진짜 감사합니다