[선형대수학] 5. 크래머 공식 (Cramer's Rule)

2010. 12. 27 (月)

연립일차방정식은 중학교 인지 고등학교인지는 모르겠지만 아무튼 수학시간에 배웠다.

이런 연립일차방정식을 중고등학교때는 간단하게 손으로 풀수 있는 수식이다.

하지만 대학 이상 수준에서는 간단하게 손으로 풀수 있는 정도 일가? 물론 아니다 ^^





이 연립방정식을 우리가 중고등학교 때 필수로 배우라 한 이유가 무엇일가 ?

실질적으로 우리 생활 회로해석이라든지 3D, 영상처리, 천문분야 등등 다양한 분야에서는
이 연립 방정식을 계산할 때 많이 사용한다. 물론 간단한 연립방정식이 아니다.
그래서 이를 미리 연습해본 것이다.
이제는 대학와서 복잡한 연립방정식을 풀게 된다. 
우리는 지금까지 이를 풀기위해 행렬을 배웠고 행렬식을 푸는 방법에 대해서 배웠다.






그럼 이런 복잡한 연립방정식을 어떻게 풀죠?

보통 연립방정식 또는 행렬식을 푸는데는

대치법 (substitution)

가우스 소거법 (Gaussian elimination)

크레머 공식(Cramer's Rule))

다양한 방법이 있다.





그럼 크래머 공식은 무엇인가요 ?

다음과 같은 n까지 있는 연립방정식을 풀려고 한다.

우리는 이를 풀기 쉽게 계산하기 위해 행렬로 표현할 수가 있다.

    B       =                 A                       X


여기에서 위의 행렬을 다음과 간단하게 나타낼 수 있다.
B = AX

여기서

A 는 n * n 정방행렬 
X 와 B 는 n * 1 인 열벡터 임을 알 수있다.


각각의 해는 다음과 같이 표현이 가능합니다. 

  △   는 행렬 A의 행렬식값 나타냅니다.
  △n 는 행렬 A에서 제n열의 값을 B로 바꾼 행렬식값을 나타냅니다.

이를 크래머 공식이라고 합니다.

여기서 수학적인 증명은 생략하도록 하겠습니다. ^^;;





크래머 공식을 하기위한 조건이 있나요 ?

B = AX

여기서 B 가 영행렬 이면 이를 동차라 하고 그렇치 않으면 비동차라 합니다.
그리고 A 가 정칙행렬(역행렬이존재) 하는 경우에는 비동차연립일차방정식으로 AX =B는 유일한 해를 가지게 됩니다.
이 조건을 만족하면 크래머 공식이 성립합니다.





말로는 설명이 어려워요 한가지 예를 들어 설명해 주세요!


간단하게 3개의 연립방정식을 풀어보겠습니다.

이를 행렬식으로 표현합니다.
   B         =                A                       X

  
B 행렬은 0 행렬이 아닙니다.
A 행렬은 역행식 값이 0이 아니기 때문에 정칙행렬 입니다.

두 조건을 만족하니 크래머 공식을 이용하여 각각의 해를 구합니다.

결과 입니다 ^^

이제 내용과 의미를 아셨다면 실전에 사용할 수 있도록 코딩 들어가셔야죠 ^^

도움이 되셨다면 리플 부탁드립니다 !
리플 하나가 큰 힘이 된답니다 ^^