1. 선형과 비선형

2009. 10. 12 (月)

 입출력이 영상인 연산자를  H라 하자. 어떤 두 영상 f, g가 어떤 두 스칼라 a,b에 대하여 다음 식과 같다면 H를 선형 연산자 (linear operator) 라 한다

책에서는 이렇게 말한다
" 두 영상의 합에 선형 연산자를 적용한 결과는 각각의 영상에 대하여 그 연산자를 적용하고 적절한 상수를 결과에 곱하고 그 결과들을 더한것과 동일 하다. "
이렇게 말하면 이해 불능이다 진짜  ''ㅡ,.ㅡㅋ
K개의 영상의 합을 계산하기 위한것은 선형? 두 영상의 차이의 절대값을 계산하면 비선형 정도로 생각하면 될듯 싶다. 무조건 더하기 인가 ? ㅡㅡ

수학에서 <선형>이란 말은 명백히 구분되는 두 가지 의미를 가지는데 이 두가지를 혼동하지 말아야 한다.

 첫째 선형함수 즉 일차함수라는 말을 할 수 있다.
 가령 함수 f(x)=4x + 1과  f(x)=-2x - 1 은 선형이다 하지만 f(x)=y 와 f(x)=cosx는 비선형이다.

 그렇다 선형 방정식은 결과가 원인에 비례하는 상황을 수학적으로 모형화 한 것이라고 볼 수 있다. 한마디로 예측 가능하다고 볼수 있는것이다.

 둘째로  선형순서가 있다.. 이것은 집합을 구성하는 원소들의 크기를 서로 비교할 수 있는 상태를 의미한다.
선형계는 몇 개의 단순한 구성요소로 분석하여 그들의 특징을 파악하면 다시 종합함으로써 전체 행동을 추측할 수 있다.
 

이러한 특성 때문에 뉴튼역학의 대상은 주로 정량적인 방법이 사용된다.

비선형이라 해도 선형으로 근사시키는 선형화라는 방법으로 비선형의 항을 소거하여 근사적으로 단순한 형태로 바꾸어 그 행동을 예측할 수는 있다.

그러나 비선형계는 본질적으로 몇 개의 간단한 구성요소로는 분석이 불가능할 뿐만 아니라, 만약 분석이 된다고 해도 그것들이 종합될 때는 각 부분, 또는 요인들이 서로 상승작용하여 전체의 행동을 예측하기가 매우 어려워진다.
 
선형적인 현상은 자연계에서는 극히 특수한 경우이고오히려 비선형적인 현상이 보다 일반적인 것이다. 게다가 비선형을 선형에 근사시키는 일에는 한계가 있다.

하지만 비선형 연산자가 때때로 좀더 좋은 성능을 제공하지만 이론적으로 이해가 쉽게 되지 않는다.